树和二叉树的性质结构-创新互联

树(Tree)：是n(n>=0)个结点的有限集。当n=0时为空树。

森林(Forest)：是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

树的存储结构：

双亲表示法

//双亲结点表示法
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int ElemType;

typedef struct PTNode
{ElemType data;  //结点数据
    int parent;   //双亲位置
}PTNode;

typedef struct
{PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r;  //根的位置
    int n;  //结点数目
}PTree;

双亲孩子表示法

#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef char ElemType;

//孩子结点
typedef struct CTNode
{int child;  //孩子结点的下标
    struct CTNode *next;  //指向下一个孩子结点的指针
}*ChildPtr;

//表头结构
typedef struct
{ElemType data;  //存放在树中的结点的数据
    int parent;    //存放双亲的下标
    ChildPtr firstchild;  //指向第一个孩子的指针
}CTBox;

//树结构
typedef struct
{CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];  //结点数组
    int r,n;
}

二叉树的定义：是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

空二叉树

只有根节点的二叉树

根节点只有左子树

根节点只有右子树

根节点既有左子树又有右子树

满二叉树：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。

完全二叉树：是一个深度为k的有n个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i(1≤i≤n)的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同。

特点：

• 叶子结点只能出现在最下两层。
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
• 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子。
• 同样结点的二叉树，完全二叉树深度最小。

注：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

在二叉树的第 i 层上至多有 2 i − 1 个结点 ( i > = 1 ) 深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点 ( k > = 1 ) 对于任何一棵二叉树 T ，如果其终端结点数为 n 0 ，度为 2 的结点数为 n 2 ，则 n 0 = n 2 + 1 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点 i ( 1 < = i < = n ) 有以下性质： − 如果 i = 1 ，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i > 1 ，则其双亲是结点 ⌊ i / 2 ⌋ − 如果 2 i > n ，则结点 i 无左孩子 ( 结点 i 为叶子结点 ) ；否则其左孩子是 2 i − 如果 2 i + 1 > n ，则结点 i 无右孩子；否则其右孩子是结点 2 i + 1 \begin{align} &在二叉树的第i层上至多有2^{i-1}个结点(i>=1)\\ &深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)\\ &对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1\\ &具有n个结点的完全二叉树的深度为\lfloor log_2n \rfloor+1\\ &如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有以下性质：\\ &- 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点\lfloor i/2 \rfloor\\ &- 如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是2i\\ &- 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1 \end{align} ​在二叉树的第i层上至多有2i−1个结点(i>=1)深度为k的二叉树至多有2k−1个结点(k>=1)对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2​n⌋+1如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有以下性质：−如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点⌊i/2⌋−如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是2i−如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1​​

二叉链表

typedef struct BiTNode
{ElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

前序遍历

中序遍历

后序遍历

层序遍历

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