九宫格问题、16宫格

九宫格（Lo Shu Square）问题

将1到9的数字按照一定方式填入九宫格内。使得每一列、每一行以及两条对角线上的值都相等。

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全排列（递归）

首先，用枚举法，生成各种(3, 3)的二维数组：

def perm(li):
    """递归实现列表的全排列
    如果输入是[1]，那么返回[[li],]表示有一种排列
    如果输入是[1, 2]，期望的返回的是[[1, 2], [2, 1]]，这是要之后的递归实现的
    """
    if len(li) <= 1:
        return [li]
    ret = []
    for i in range(len(li)):
        s1 = li[i:i + 1]  # 取出一个元素，组成一个列表
        rest = li[:i] + li[i + 1:]  # 剩余的元素组成一个列表
        p = perm(rest)
        for j in p:  # 迭代每一种排列
            ret.append(s1 + j)  # 和之前取出的1个元素进行拼接
    return ret

简单验证一下：

>>> perm([1, 2, 3])
[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

递归算法比较费时，如果是9个数字的全排列，要1秒左右。如果数组更大比如(4, 4)就几乎跑不完了：

995 ms ± 12.8 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

检查函数

各种求和，然后进行检查：

def is_lo_shu_square(arr):
    """接收numpy的二维数组"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return  False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int) * arr) != n:  # 检查对角线
        return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int)[::-1] * arr) != n:  # 检查次对角线
        return False
    return True

简单验证一下：

>>> np.array(([1, 1], [1, 1]))
array([[1, 1],
       [1, 1]])
>>> a = np.array(([1, 1], [1, 1]))
>>> is_lo_shu_squar(a)
True

计算结果

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in perm(li):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]

全排列（非递归）

标准库itertools里提供了排列的函数，算法比较复杂j就不研究了，顺便还有组合的函数：

import itertools
>>> list(itertools.permutations([1, 2, 3], 3))
[(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)]
>>> list(itertools.combinations([1, 2, 3], 2))
[(1, 2), (1, 3), (2, 3)]

计算还是一样的：

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in itertools.permutations(li, 9):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]

整个计算过程的执行时间大致是从8秒提高到了6秒。时间上没有本质的区别，并且如果要去计算更大的列表的全排列，比如16个元素的，两种算法都是执行不完的。
不过非递归算法节省内存，整个过程中内存的分配不会有大的变化。而递归算法对内存的开销是巨大的。

16宫格

上面的算法虽然也支持计算16宫格，但是算法复杂度太高，至少我的电脑上运行不出结果来。第一步16个元素的全排列就计算不完，2亿亿次（16! = 20,922,789,888,000）。
很明显有些情况计算之后就能排除很多类似的情况。

数字分组（行的和相等）

先把16个数，分成4组，每组的和都相等，这就是将来每行的数字的集合：

def square_list(d):
    """选项4组数组，每组数组组成一行，并且和相等
    返回所有行的和都符合的二维元祖
    """
    nums = [i + 1 for i in range(d * d)]
    sum_line = sum(nums) // d
    # lines = itertools.combinations(nums, d)  # 4阶共有1820个
    lines = (i for i in itertools.combinations(nums, d) if sum(i) == sum_line)  # 筛选后4阶共有86个

    for square in itertools.combinations(lines, d):
        s = set()
        for line in square:
            for n in line:
                s.add(n)
        if len(s) == d*d:
            yield square  # 4阶共有392个

这步能筛选出392种组合等待续操作。

调整每行的元素排列（列的行相等）

把上面的每种组合用下面的方法再做一次遍历。每行的数字互相调整位置，使得每列的和也相等：

def square_list2(square, sum_line=None, skip=0, squares=None):
    """调整每行数字的排列，找到能使每列数字之和也相等的二维元祖
    返回的是所有列的和也都符合的二维元祖，
    这步之后4阶能筛选出22896个
    :param square:
    :param sum_line: 第一次递归的时候计算出来
    :param skip: 第一次调整第0列，之后递增
    :return:
    """
    column_count = len(square[0])
    if skip >= column_count:  # 递归的退出条件
        if squares is None:
            squares = []
        squares.append(square)
        return squares
    row_count = len(square)
    if sum_line is None:
        sum_line = sum(square[0])
    # 遍历所有的情况，交换元素直到一列的和等于sum_line，
    # 然后递归调用处理后面的列，直到处理完所有的列
    for li in index_list(row_count, column_count-skip):
        sq = [list(i) for i in square]
        sum_list = []
        for i in range(row_count):
            sum_list.append(sq[i][li[i]+skip])
        if sum(sum_list) == sum_line:
            for j in range(row_count):
                sq[j][0+skip], sq[j][li[j]+skip] = sq[j][li[j]+skip], sq[j][0+skip]
            sq_tpl = tuple((tuple(i) for i in sq))
            squares = square_list2(sq_tpl, sum_line, skip + 1, squares)
    return squares

def index_list(lenth, notation):
    """返回一个下标的列表
    被square_list2调用，遍历每一行取一个值的所有情况
    """
    counter = 0
    while True:
        n = counter
        li = []
        for i in range(lenth):
            n, index = divmod(n, notation)
            li.append(index)
        if n == 0:
            yield li[::-1]
            counter += 1
        else:
            break

这里用了递归。另外遍历下标的index_list函数用了取模取余的方式，做的是类似10进制转4进制，然后每一位就是一个下标，最后把列表反转之后返回了。
最后一个筛选出22896个数组，每个都是行和列的和都相等的。

调整行之间的排序（斜线相等）

这步不做计算了，只是遍历。一个4行调整行之间的排列，一共是24种排列，也就是之前的基础上的24倍的量，还是可以接受的。这里就是4个元素的全排列了：

def square_list3(square):
    """调整行与行之间的排列顺序，
    4阶的全排列是24种情况，所以会再多24倍数的情况要遍历
    每行以及每列的和都相等了，这样调整会影响到斜线计算的结果"""
    return itertools.permutations(square, 4)

验证函数

之前已经把可能符合条件的数组筛选到五十多万个了，这里只要再写一个函数做最终的验证就能把结果筛选出来了。这里要验证行的和、列的和、斜线的和。斜线的和不只是对角线，每个方向4条斜线一共8条斜线。另外再验证4个角和中心4块的和，不过这2步不影响结果，行和列是之前的筛选条件，也不影响结果，只是验证结果正确。只要是通过斜线的计算把不符合的再筛掉一批：

def is_lo_shu_square4(arr):
    """接收numpy的二维数组"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    # 检查所有的斜线，包括对角线
    for i in range(d):
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int) + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)) * arr) != n:
            return False
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int)[::-1] + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)[::-1]) * arr) != n:
            return False
    # 到此能找到384个
    # 检查4个角的4个数的和也要符合要求，不影响结果
    if np.sum(arr[:2, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[:2, -2:]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, -2:]) != n:
        return False
    # 在检查最中间的4个格子的和，不影响结果
    if np.sum(arr[1:3, 1:3]) != n:
        return False
    return True

48个完美解

所有符合要求的数组一共384个，这里只输出(0, 0)和(1, 1)的位置上是1的48个数组：

def main():
    count = 0
    for square in square_list(4):
        # 有可能返回空，因为不是每一种组合都一定能得到竖排和相等的矩阵
        squares2 = square_list2(square)
        if squares2:
            for square2 in squares2:
                for square3 in square_list3(square2):
                    a = np.array(square3)
                    if is_lo_shu_square4(a):
                        if a[0][0] == 1 or a[1][1] == 1:
                            count += 1
                            print(a)
    print(count)

下面贴上所有的48个数组，其他的数组只是这个基础上的转置和双奇双偶变换（把数组横向或纵向位移2个单位）的结果：

[[ 1 14  4 15]
 [ 8 11  5 10]
 [13  2 16  3]
 [12  7  9  6]]
[[ 1 14  4 15]
 [12  7  9  6]
 [13  2 16  3]
 [ 8 11  5 10]]
[[ 1 15  4 14]
 [ 8 10  5 11]
 [13  3 16  2]
 [12  6  9  7]]
[[ 1 15  4 14]
 [12  6  9  7]
 [13  3 16  2]
 [ 8 10  5 11]]
[[11  8 10  5]
 [14  1 15  4]
 [ 7 12  6  9]
 [ 2 13  3 16]]
[[ 7 12  6  9]
 [14  1 15  4]
 [11  8 10  5]
 [ 2 13  3 16]]
[[10  8 11  5]
 [15  1 14  4]
 [ 6 12  7  9]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 6 12  7  9]
 [15  1 14  4]
 [10  8 11  5]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 1 12  6 15]
 [ 8 13  3 10]
 [11  2 16  5]
 [14  7  9  4]]
[[ 1 12  6 15]
 [14  7  9  4]
 [11  2 16  5]
 [ 8 13  3 10]]
[[ 1 15  6 12]
 [ 8 10  3 13]
 [11  5 16  2]
 [14  4  9  7]]
[[ 1 15  6 12]
 [14  4  9  7]
 [11  5 16  2]
 [ 8 10  3 13]]
[[13  8 10  3]
 [12  1 15  6]
 [ 7 14  4  9]
 [ 2 11  5 16]]
[[ 7 14  4  9]
 [12  1 15  6]
 [13  8 10  3]
 [ 2 11  5 16]]
[[10  8 13  3]
 [15  1 12  6]
 [ 4 14  7  9]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 4 14  7  9]
 [15  1 12  6]
 [10  8 13  3]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 1 12  7 14]
 [ 8 13  2 11]
 [10  3 16  5]
 [15  6  9  4]]
[[ 1 12  7 14]
 [15  6  9  4]
 [10  3 16  5]
 [ 8 13  2 11]]
[[ 1 14  7 12]
 [ 8 11  2 13]
 [10  5 16  3]
 [15  4  9  6]]
[[ 1 14  7 12]
 [15  4  9  6]
 [10  5 16  3]
 [ 8 11  2 13]]
[[13  8 11  2]
 [12  1 14  7]
 [ 6 15  4  9]
 [ 3 10  5 16]]
[[ 6 15  4  9]
 [12  1 14  7]
 [13  8 11  2]
 [ 3 10  5 16]]
[[11  8 13  2]
 [14  1 12  7]
 [ 4 15  6  9]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 4 15  6  9]
 [14  1 12  7]
 [11  8 13  2]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 1  8 10 15]
 [12 13  3  6]
 [ 7  2 16  9]
 [14 11  5  4]]
[[ 1  8 10 15]
 [14 11  5  4]
 [ 7  2 16  9]
 [12 13  3  6]]
[[ 1 15 10  8]
 [12  6  3 13]
 [ 7  9 16  2]
 [14  4  5 11]]
[[ 1 15 10  8]
 [14  4  5 11]
 [ 7  9 16  2]
 [12  6  3 13]]
[[13 12  6  3]
 [ 8  1 15 10]
 [11 14  4  5]
 [ 2  7  9 16]]
[[11 14  4  5]
 [ 8  1 15 10]
 [13 12  6  3]
 [ 2  7  9 16]]
[[ 6 12 13  3]
 [15  1  8 10]
 [ 4 14 11  5]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 4 14 11  5]
 [15  1  8 10]
 [ 6 12 13  3]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 1  8 11 14]
 [12 13  2  7]
 [ 6  3 16  9]
 [15 10  5  4]]
[[ 1  8 11 14]
 [15 10  5  4]
 [ 6  3 16  9]
 [12 13  2  7]]
[[ 1 14 11  8]
 [12  7  2 13]
 [ 6  9 16  3]
 [15  4  5 10]]
[[ 1 14 11  8]
 [15  4  5 10]
 [ 6  9 16  3]
 [12  7  2 13]]
[[13 12  7  2]
 [ 8  1 14 11]
 [10 15  4  5]
 [ 3  6  9 16]]
[[10 15  4  5]
 [ 8  1 14 11]
 [13 12  7  2]
 [ 3  6  9 16]]
[[ 7 12 13  2]
 [14  1  8 11]
 [ 4 15 10  5]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 4 15 10  5]
 [14  1  8 11]
 [ 7 12 13  2]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 1  8 13 12]
 [14 11  2  7]
 [ 4  5 16  9]
 [15 10  3  6]]
[[ 1  8 13 12]
 [15 10  3  6]
 [ 4  5 16  9]
 [14 11  2  7]]
[[ 1 12 13  8]
 [14  7  2 11]
 [ 4  9 16  5]
 [15  6  3 10]]
[[ 1 12 13  8]
 [15  6  3 10]
 [ 4  9 16  5]
 [14  7  2 11]]
[[11 14  7  2]
 [ 8  1 12 13]
 [10 15  6  3]
 [ 5  4  9 16]]
[[10 15  6  3]
 [ 8  1 12 13]
 [11 14  7  2]
 [ 5  4  9 16]]
[[ 7 14 11  2]
 [12  1  8 13]
 [ 6 15 10  3]
 [ 9  4  5 16]]
[[ 6 15 10  3]
 [12  1  8 13]
 [ 7 14 11  2]
 [ 9  4  5 16]]

16宫格的完美解：
将16个自然数1至16填入16宫格中，是4横、4竖、8斜的4数之和相等，且等于组成14个正方形的4个顶点的数之和（这个没验证）。共48个解。
完美解的16宫格模型如下：

当年奥数教的16宫格还不是这里的完美解：

小结

用到了很多零碎的知识：

• 排列、组合
• 递归（比较搞脑筋）
• 取模、取余（用着不难，关键是要想到用这个方法来遍历所有下标的情况来解决问题）
• 列表的反转（这个算是小技巧）
• 次对角线全1的矩阵（做一次反转即可）
• 二维数组转90度（还是列表反转的技巧，反转加转置后就是，这里没用到）
• 线性代数（只是简单的用乘法算一下对角线上的数字之和）
• 16宫格的48个完美解（当年老师奥数只教了1种）