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如何用Python求矩阵的范数和行列式

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scipy.linalg的函数中,往往会提供两种参数,其一是check_finite,当为True时将进行有限检查,另一类是overwrite_xxxx,表示xxxx在计算过程中是否可以被覆写。简洁起见,后文中说a提供覆写开关,就表示存在一个参数overwrite_a,当其为True时,a允许计算过程中被覆写;若说提供有限检查开关,则代表提供check_finite参数。

范数

scipy.linalg中提供了函数norm用来求范数,其定义为

norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)

其中ord用于声明范数的阶

ord矩阵范数向量范数



None弗罗贝尼乌斯范数2-范数
'fro'弗罗贝尼乌斯范数-
'nuc'核范数-
infmax(sum(abs(a), axis=1))max ⁡ ( ∣ a ∣ )
-infmin(sum(abs(a), axis=1))min ⁡ ( ∣ a ∣ )
0-sum(a!=0)
1max(sum(abs(a), axis=0))
-1min(sum(abs(a), axis=0))
22-范数(最大奇异值)
-2最小奇异值

a为向量,若ord为非零整数,记作n nn,设a i a_iai为矩阵a aa中的元素,则矩阵的n nn范数为

如何用Python求矩阵的范数和行列式

核范数又称“迹范数” (trace norm),表示矩阵的所有奇异值之和。

Frobenius范数可定义为

如何用Python求矩阵的范数和行列式

其实质是向量的2-范数在矩阵中的自然推广。

除了scipy.linalg之外,numpy.linalg中也提供了norm,其参数为

norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

其中order的可选参数与scipy.linalg中的norm函数相同。

行列式

scipy.linalg中,行列式函数为det,其定义非常简单,除了待求矩阵a之外,就只有a的覆写开关和有限检查。

示例如下

import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 0.0
a = np.array([[0,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 3.0

scipy.linalg不提供trace函数,但是numpy提供,其定义为

umpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None)

其中

  • offset为偏移量,表示相对于主对角线的偏移

  • axis1, axis2 表示坐标轴

  • dtype 用于调整输出值的数据类型

>>> x = np.random.rand(3,3)
>>> print(x)
[[0.26832187 0.64615363 0.09006217]
 [0.63106319 0.65573765 0.35842304]
 [0.66629322 0.16999836 0.92357658]]
>>> np.trace(x)
1.8476361016546932

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