python多元函数计算,python求多元函数极值

python递归将多元列表变为一元

可以。

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使用Python自带的sum函数，sum函数是个内置函数，可以求一个数字列表的和，并且可以带初始值，如果不带初始值的话，默认是0。

首个参数为可迭代的列表，初始值默认为0，也可以为其他值，比如说[]，空列表在Python里面，类型是动态类型，一种操作或接口，到底做何操作取决于对象本身比如说同样是+，如果两者都是数字1+1=2，如果两者都是字符串，则'1'+'1'='11'所以如果这里的start本身为[]，则会执行列表合并的操作。

python多元线性回归怎么计算

1、什么是多元线性回归模型？

当y值的影响因素不唯一时,采用多元线性回归模型。

y =y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn

例如商品的销售额可能不电视广告投入,收音机广告投入,报纸广告投入有关系,可以有 sales =β0+β1*TV+β2* radio+β3*newspaper.

2、使用pandas来读取数据

pandas 是一个用于数据探索、数据分析和数据处理的python库

[python] view plain copy

import pandas as pd

[html] view plain copy

pre name="code" class="python"# read csv file directly from a URL and save the results

data = pd.read_csv('/home/lulei/Advertising.csv')

# display the first 5 rows

data.head()

上面代码的运行结果：

TV  Radio  Newspaper  Sales

0  230.1   37.8       69.2   22.1

1   44.5   39.3       45.1   10.4

2   17.2   45.9       69.3    9.3

3  151.5   41.3       58.5   18.5

4  180.8   10.8       58.4   12.9

上面显示的结果类似一个电子表格，这个结构称为Pandas的数据帧(data frame)，类型全称：pandas.core.frame.DataFrame.

pandas的两个主要数据结构：Series和DataFrame：

Series类似于一维数组，它有一组数据以及一组与之相关的数据标签(即索引)组成。

DataFrame是一个表格型的数据结构，它含有一组有序的列，每列可以是不同的值类型。DataFrame既有行索引也有列索引，它可以被看做由Series组成的字典。

[python] view plain copy

# display the last 5 rows

data.tail()

只显示结果的末尾5行

 TV  Radio  Newspaper  Sales

195   38.2    3.7       13.8    7.6

196   94.2    4.9        8.1    9.7

197  177.0    9.3        6.4   12.8

198  283.6   42.0       66.2   25.5

199  232.1    8.6        8.7   13.4

[html] view plain copy

# check the shape of the DataFrame(rows, colums)

data.shape

查看DataFrame的形状,注意第一列的叫索引，和数据库某个表中的第一列类似。

(200,4) 

3、分析数据

特征：

TV：对于一个给定市场中单一产品，用于电视上的广告费用（以千为单位）

Radio：在广播媒体上投资的广告费用

Newspaper：用于报纸媒体的广告费用

响应：

Sales：对应产品的销量

在这个案例中，我们通过不同的广告投入，预测产品销量。因为响应变量是一个连续的值，所以这个问题是一个回归问题。数据集一共有200个观测值，每一组观测对应一个市场的情况。

注意：这里推荐使用的是seaborn包。网上说这个包的数据可视化效果比较好看。其实seaborn也应该属于matplotlib的内部包。只是需要再次的单独安装。

[python] view plain copy

import seaborn as sns

import matplotlib.pyplot as plt

# visualize the relationship between the features and the response using scatterplots

sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8)

plt.show()#注意必须加上这一句，否则无法显示。

[html] view plain copy

这里选择TV、Radio、Newspaper 作为特征，Sales作为观测值

[html] view plain copy

返回的结果：

seaborn的pairplot函数绘制X的每一维度和对应Y的散点图。通过设置size和aspect参数来调节显示的大小和比例。可以从图中看出，TV特征和销量是有比较强的线性关系的，而Radio和Sales线性关系弱一些，Newspaper和Sales线性关系更弱。通过加入一个参数kind='reg'，seaborn可以添加一条最佳拟合直线和95%的置信带。

[python] view plain copy

sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8, kind='reg')

plt.show()

结果显示如下：

4、线性回归模型

优点：快速；没有调节参数；可轻易解释；可理解。

缺点：相比其他复杂一些的模型，其预测准确率不是太高，因为它假设特征和响应之间存在确定的线性关系，这种假设对于非线性的关系，线性回归模型显然不能很好的对这种数据建模。

线性模型表达式： y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn 其中

y是响应

β0是截距

β1是x1的系数，以此类推

在这个案例中： y=β0+β1∗TV+β2∗Radio+...+βn∗Newspaper

(1)、使用pandas来构建X(特征向量)和y(标签列)

scikit-learn要求X是一个特征矩阵，y是一个NumPy向量。

pandas构建在NumPy之上。

因此，X可以是pandas的DataFrame，y可以是pandas的Series，scikit-learn可以理解这种结构。

[python] view plain copy

#create a python list of feature names

feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']

# use the list to select a subset of the original DataFrame

X = data[feature_cols]

# equivalent command to do this in one line

X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]

# print the first 5 rows

print X.head()

# check the type and shape of X

print type(X)

print X.shape

输出结果如下：

TV  Radio  Newspaper

0  230.1   37.8       69.2

1   44.5   39.3       45.1

2   17.2   45.9       69.3

3  151.5   41.3       58.5

4  180.8   10.8       58.4

class 'pandas.core.frame.DataFrame'

(200, 3)

[python] view plain copy

# select a Series from the DataFrame

y = data['Sales']

# equivalent command that works if there are no spaces in the column name

y = data.Sales

# print the first 5 values

print y.head()

输出的结果如下：

0    22.1

1    10.4

2     9.3

3    18.5

4    12.9

Name: Sales

（2）、构建训练集与测试集

[html] view plain copy

pre name="code" class="python"span style="font-size:14px;"##构造训练集和测试集

from sklearn.cross_validation import train_test_split  #这里是引用了交叉验证

X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)

#default split is 75% for training and 25% for testing

[html] view plain copy

print X_train.shape

print y_train.shape

print X_test.shape

print y_test.shape

输出结果如下：

(150, 3)

(150,)

(50, 3)

(50,)

注：上面的结果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道为什么我的版本的sklearn包中居然报错：

ImportError                               Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module()      1 ###构造训练集和测试集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split      3 #import sklearn.cross_validation      4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)      5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

处理方法：1、我后来重新安装sklearn包。再一次调用时就没有错误了。

2、自己写函数来认为的随机构造训练集和测试集。(这个代码我会在最后附上。)

（3）sklearn的线性回归

[html] view plain copy

from sklearn.linear_model import LinearRegression

linreg = LinearRegression()

model=linreg.fit(X_train, y_train)

print model

print linreg.intercept_

print linreg.coef_

输出的结果如下：

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)

2.66816623043

[ 0.04641001  0.19272538 -0.00349015]

[html] view plain copy

# pair the feature names with the coefficients

zip(feature_cols, linreg.coef_)

输出如下：

[('TV', 0.046410010869663267),

('Radio', 0.19272538367491721),

('Newspaper', -0.0034901506098328305)]

y=2.668+0.0464∗TV+0.192∗Radio-0.00349∗Newspaper

如何解释各个特征对应的系数的意义？

对于给定了Radio和Newspaper的广告投入，如果在TV广告上每多投入1个单位，对应销量将增加0.0466个单位。就是加入其它两个媒体投入固定，在TV广告上每增加1000美元（因为单位是1000美元），销量将增加46.6（因为单位是1000）。但是大家注意这里的newspaper的系数居然是负数，所以我们可以考虑不使用newspaper这个特征。这是后话，后面会提到的。

（4）、预测

[python] view plain copy

y_pred = linreg.predict(X_test)

print y_pred

[python] view plain copy

print type(y_pred)

输出结果如下：

[ 14.58678373   7.92397999  16.9497993   19.35791038   7.36360284

7.35359269  16.08342325   9.16533046  20.35507374  12.63160058

22.83356472   9.66291461   4.18055603  13.70368584  11.4533557

4.16940565  10.31271413  23.06786868  17.80464565  14.53070132

15.19656684  14.22969609   7.54691167  13.47210324  15.00625898

19.28532444  20.7319878   19.70408833  18.21640853   8.50112687

9.8493781    9.51425763   9.73270043  18.13782015  15.41731544

5.07416787  12.20575251  14.05507493  10.6699926    7.16006245

11.80728836  24.79748121  10.40809168  24.05228404  18.44737314

20.80572631   9.45424805  17.00481708   5.78634105   5.10594849]

type 'numpy.ndarray'

5、回归问题的评价测度

(1) 评价测度

对于分类问题，评价测度是准确率，但这种方法不适用于回归问题。我们使用针对连续数值的评价测度(evaluation metrics)。

这里介绍3种常用的针对线性回归的测度。

1)平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)

(2)均方误差(Mean Squared Error, MSE)

(3)均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)

这里我使用RMES。

[python] view plain copy

pre name="code" class="python"#计算Sales预测的RMSE

print type(y_pred),type(y_test)

print len(y_pred),len(y_test)

print y_pred.shape,y_test.shape

from sklearn import metrics

import numpy as np

sum_mean=0

for i in range(len(y_pred)):

sum_mean+=(y_pred[i]-y_test.values[i])**2

sum_erro=np.sqrt(sum_mean/50)

# calculate RMSE by hand

print "RMSE by hand:",sum_erro

最后的结果如下：

type 'numpy.ndarray' class 'pandas.core.series.Series'

50 50

(50,) (50,)

RMSE by hand: 1.42998147691

（2）做ROC曲线

[python] view plain copy

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure()

plt.plot(range(len(y_pred)),y_pred,'b',label="predict")

plt.plot(range(len(y_pred)),y_test,'r',label="test")

plt.legend(loc="upper right") #显示图中的标签

plt.xlabel("the number of sales")

plt.ylabel('value of sales')

plt.show()

显示结果如下：（红色的线是真实的值曲线，蓝色的是预测值曲线）

直到这里整个的一次多元线性回归的预测就结束了。

6、改进特征的选择

在之前展示的数据中，我们看到Newspaper和销量之间的线性关系竟是负关系（不用惊讶，这是随机特征抽样的结果。换一批抽样的数据就可能为正了），现在我们移除这个特征，看看线性回归预测的结果的RMSE如何？

依然使用我上面的代码，但只需修改下面代码中的一句即可：

[python] view plain copy

#create a python list of feature names

feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']

# use the list to select a subset of the original DataFrame

X = data[feature_cols]

# equivalent command to do this in one line

#X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]#只需修改这里即可pre name="code" class="python" style="font-size: 15px; line-height: 35px;"X = data[['TV', 'Radio']]  #去掉newspaper其他的代码不变

# print the first 5 rowsprint X.head()# check the type and shape of Xprint type(X)print X.shape

最后的到的系数与测度如下：

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)

2.81843904823

[ 0.04588771  0.18721008]

RMSE by hand: 1.28208957507

然后再次使用ROC曲线来观测曲线的整体情况。我们在将Newspaper这个特征移除之后，得到RMSE变小了，说明Newspaper特征可能不适合作为预测销量的特征，于是，我们得到了新的模型。我们还可以通过不同的特征组合得到新的模型，看看最终的误差是如何的。

备注：

之前我提到了这种错误：

注：上面的结果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道为什么我的版本的sklearn包中居然报错：

ImportError                               Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module()      1 ###构造训练集和测试集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split      3 #import sklearn.cross_validation      4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)      5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

处理方法：1、我后来重新安装sklearn包。再一次调用时就没有错误了。

2、自己写函数来认为的随机构造训练集和测试集。(这个代码我会在最后附上。)

这里我给出我自己写的函数：

Python怎么做最优化

一、概观

scipy中的optimize子包中提供了常用的最优化算法函数实现。我们可以直接调用这些函数完成我们的优化问题。optimize中函数最典型的特点就是能够从函数名称上看出是使用了什么算法。下面optimize包中函数的概览：

1.非线性最优化

fmin -- 简单Nelder-Mead算法

fmin_powell -- 改进型Powell法

fmin_bfgs -- 拟Newton法

fmin_cg -- 非线性共轭梯度法

fmin_ncg -- 线性搜索Newton共轭梯度法

leastsq -- 最小二乘

2.有约束的多元函数问题

fmin_l_bfgs_b ---使用L-BFGS-B算法

fmin_tnc ---梯度信息

fmin_cobyla ---线性逼近

fmin_slsqp ---序列最小二乘法

nnls ---解|| Ax - b ||_2 for x=0

3.全局优化

anneal ---模拟退火算法

brute --强力法

4.标量函数

fminbound

brent

golden

bracket

5.拟合

curve_fit-- 使用非线性最小二乘法拟合

6.标量函数求根

brentq ---classic Brent (1973)

brenth ---A variation on the classic Brent（1980）ridder ---Ridder是提出这个算法的人名

bisect ---二分法

newton ---牛顿法

fixed_point

7.多维函数求根

fsolve ---通用

broyden1 ---Broyden’s first Jacobian approximation.

broyden2 ---Broyden’s second Jacobian approximationnewton_krylov ---Krylov approximation for inverse Jacobiananderson ---extended Anderson mixing

excitingmixing ---tuned diagonal Jacobian approximationlinearmixing ---scalar Jacobian approximationdiagbroyden ---diagonal Broyden Jacobian approximation8.实用函数

line_search ---找到满足强Wolfe的alpha值

check_grad ---通过和前向有限差分逼近比较检查梯度函数的正确性二、实战非线性最优化

fmin完整的调用形式是：

fmin(func, x0, args=(), xtol=0.0001, ftol=0.0001, maxiter=None, maxfun=None, full_output=0, disp=1, retall=0, callback=None)不过我们最常使用的就是前两个参数。一个描述优化问题的函数以及初值。后面的那些参数我们也很容易理解。如果您能用到，请自己研究。下面研究一个最简单的问题，来感受这个函数的使用方法：f(x)=x**2-4*x+8，我们知道，这个函数的最小值是4，在x=2的时候取到。

from scipy.optimize import fmin #引入优化包def myfunc(x):

return x**2-4*x+8 #定义函数

x0 = [1.3] #猜一个初值

xopt = fmin(myfunc, x0) #求解

print xopt #打印结果

运行之后，给出的结果是：

Optimization terminated successfully.

Current function value: 4.000000

Iterations: 16

Function evaluations: 32

[ 2.00001953]

程序准确的计算得出了最小值，不过最小值点并不是严格的2，这应该是由二进制机器编码误差造成的。

除了fmin_ncg必须提供梯度信息外，其他几个函数的调用大同小异，完全类似。我们不妨做一个对比：

from scipy.optimize import fmin,fmin_powell,fmin_bfgs,fmin_cgdef myfunc(x):

return x**2-4*x+8

x0 = [1.3]

xopt1 = fmin(myfunc, x0)

print xopt1

print

xopt2 = fmin_powell(myfunc, x0)

print xopt2

print

xopt3 = fmin_bfgs(myfunc, x0)

print xopt3

print

xopt4 = fmin_cg(myfunc,x0)

print xopt4

给出的结果是：

Optimization terminated successfully.

Current function value: 4.000000

Iterations: 16

Function evaluations: 32

[ 2.00001953]

Optimization terminated successfully.

Current function value: 4.000000

Iterations: 2

Function evaluations: 53

1.99999999997

Optimization terminated successfully.

Current function value: 4.000000

Iterations: 2

Function evaluations: 12

Gradient evaluations: 4

[ 2.00000001]

Optimization terminated successfully.

Current function value: 4.000000

Iterations: 2

Function evaluations: 15

Gradient evaluations: 5

[ 2.]

我们可以根据给出的消息直观的判断算法的执行情况。每一种算法数学上的问题，请自己看书学习。个人感觉，如果不是纯研究数学的工作，没必要搞清楚那些推导以及定理云云。不过，必须了解每一种算法的优劣以及能力所及。在使用的时候，不妨多种算法都使用一下，看看效果分别如何，同时，还可以互相印证算法失效的问题。

在from scipy.optimize import fmin之后，就可以使用help(fmin)来查看fmin的帮助信息了。帮助信息中没有例子，但是给出了每一个参数的含义说明，这是调用函数时候的最有价值参考。

有源码研究癖好的，或者当你需要改进这些已经实现的算法的时候，可能需要查看optimize中的每种算法的源代码。在这里：https:/ / github. com/scipy/scipy/blob/master/scipy/optimize/optimize.py聪明的你肯定发现了，顺着这个链接往上一级、再往上一级，你会找到scipy的几乎所有源码！